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6.2 符号表达式和符号函数的操作
6.2.1 符号表达式的操作

【 * 例 6.2.1 -1 】按不同的方式合并同幂项。
EXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');
expr1=collect(EXPR) % 默认合并 x 同幂项系数
expr2=collect(EXPR,'exp(-t)') % 合并 exp(-t) 同幂项系数
expr1 =
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)
expr2 =
x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x

【 * 例 6.2.1 -2 】 factor 指令的使用
（1）除 x 外不含其它自由变量的情况
syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1)
ans =
(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)

（2）含其它自由变量的情况之一
f2=x^2-a^2;factor(f2)

ans =
(x-a)*(x+a)

（3）对正整数的质数分解
factor(1025)
ans =
5 5 41

【 * 例 6.2.1 -3 】对多项式进行嵌套型分解
clear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1)
ans =
-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x

【 * 例 6.2.1 -4 】写出矩阵各元素的分子、分母多项式
（1）求矩阵各元素的分子、分母多项式
syms x;A=[3/2,(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1);4/x^2,3*x+4];
[n,d]=numden(A)
pretty(simplify(A)) % 为方便阅读而设。请用 simple 代替 simplify 试试。 <3>
n =
[ 3, x^3+5*x^2-3]
[ 4, 3*x+4]
d =
[ 2, (2*x-1)*(x-1)]
[ x^2, 1]
[ 3 2 ]
[ x + 5 x - 3 ]
[3/2 -----------------]

[ (2 x - 1) (x - 1)]
[ ]
[ 4 ]
[---- 3 x + 4 ]
[ 2 ]
[ x ]

（2）请读者自己运行以下指令，显示结果应与指令 <3> 相同。
pretty(simplify(n./d)) % 注意这里用的是“数组除”，而不是“矩阵除”
[ 3 2 ]
[ x + 5 x - 3 ]
[3/2 -----------------]
[ (2 x - 1) (x - 1)]
[ ]
[ 4 ]
[---- 3 x + 4 ]
[ 2 ]
[ x ]


【 * 例 6.2.1 -5 】简化
（1）运用 simplify 简化（即使多次运用 simplify 也不能得到最简形式。）
syms x;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);
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sfy1=simplify(f),sfy2=simplify(sfy1)
sfy1 =
((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
sfy2 =
((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)

（2）运用 simple 简化
g1=simple(f),g2=simple(g1)
g1 =
(2*x+1)/x
g2 =
2+1/x


【 * 例 6.2.1 -6 】简化
syms x;ff=cos(x)+sqrt(-sin(x)^2);
ssfy1=simplify(ff),ssfy2=simplify(ssfy1)
ssfy1 =
cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
ssfy2 =
cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
gg1=simple(ff),gg2=simple(gg1)
gg1 =
cos(x)+i*sin(x)
gg2 =
exp(i*x)


6.2.2 符号函数的求反和复合

　　

【 * 例 6.2.2 -1 】求 的反函数
syms x;f=x^2;g=finverse(f)
Warning: finverse(x^2) is not unique.
> In E:\MAT53\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43
g =
x^(1/2)

fg=simple(compose(g,f)) % 验算 g(f(x)) 是否等于 x
fg =
x

【 * 例 6.2.2 -2 】求 的复合函数

（1）自变量由机器确定
syms x y u fai t;f=x/(1+u^2);g=cos(y+fai);fg1=compose(f,g)
fg1 =
cos(y+fai)/(1+u^2)

（2）指定自变量

fg2=compose(f,g,u,fai,t)
fg2 =
x/(1+cos(y+t)^2)


6.2.3 置换及其应用
6.2.3.1 自动执行的子表达式置换指令

【 * 例 6.2.3 .1-1 】演示子表达式的置换表示。
clear all,syms a b c d W;[V,D]=eig([a b;c d]);
[RVD,W]=subexpr([V;D],W) %<2>
RVD =
[ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c]
[ 1, 1]
[ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0]
[ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W]
W =
(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)


6.2.3.2 通用置换指令

【 * 例 6.2.3 .2-1 】用简单算例演示 subs 的置换规则。
（1）产生符号函数
syms a x;f=a*sin(x)+5;

（2）符号变量置换
f1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2> 　　

f1 =
a*y+5

（3）符号常数置换
f2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) %<3>
f2 =
3^(1/2)+5

（4）双精度数值置换（即所有自由变量被双精度数值取代。取 a=2 ， x=pi/3 ）
f3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4>
f3 =
6.7321

（5）数值数组置换之一（取 a=2 ， x=0:pi/6:pi ）
f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) %<5>
f4 =
5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 6.7321 6.0000 5.0000

（6）数值数组置换之二（取 a=0:6 ， x=0:pi/6:pi ）
f5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) %<6>
f5 =
5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 8.4641 7.5000 5.0000


6.2.4 符号数值精度控制和任意精度计算
6.2.4.2 任意精度的符号数值

【 * 例 6.2.4 .2-1 】指令使用演示。
digits % 显示省缺符号数值计算相对精度
Digits = 32
p0=sym('(1+sqrt(5))/2'); %p0 为 (1+sqrt(5))/2 准确值
p1=sym((1+sqrt(5))/2) %p1 是 (1+sqrt(5))/2 在数值环境下的近似值
e01=vpa(abs(p0-p1)) % 在符号环境 32 位省缺精度下，观察 p0, p1 间误差
p1 =
7286977268806824*2^(-52)
e01 =
.543211520368250e-16
p2=vpa(p0) %p2 是 p0 在 32 位相对精度下的近似
e02=vpa(abs(p0-p2),64) % 在 64 位相对精度下，观察 p0, p2 间的误差
p2 =
1.6180339887498948482045868343657
e02 =
.61882279690820194237137864551377e-31
digits % 验证 vpa 变精度计算不影响全局的符号数值计算精度
Digits = 32


6.2.5 符号对象与其它数据对象间的转换

【 * 例 6.2.5 -1 】符号、数值间的转换。
phi=sym((1+sqrt(5))/2) % 把数值对象转换成符号常数
double(phi) % 把符号常数转换为双精度存储的数值
phi =
7286977268806824*2^(-52)
ans =
1.6180

【 * 例 6.2.5 -2 】各种多项式表示形式之间的转换
syms x;f=x^3+2*x^2-3*x+5; % 生成符号多项式
sy2p=sym2poly(f) % 由符号多项式产生数值系数行向量
p2st=poly2str(sy2p,'x') % 把系数行向量变成易读表示式
p2sy=poly2sym(sy2p) % 把数值系数行向量再转换为符号多项式
pretty(f,'x') % 显示符号多项式的易读表示形式
sy2p =
1 2 -3 5
p2st =
x^3 + 2 x^2 - 3 x + 5
p2sy =
x^3+2*x^2-3*x+5
3 2
x + 2 x - 3 x + 5


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